Обобщение байесовской оценки при учете неоднородности объединяемых данных

При оценке исследуемых показателей байесовским методом предпо­лагалась статистическая однородность априорной и эксперименталь­ной информации. Однако отличие условий испытаний на различных этапах экспериментальной отработки изделий может привести к неод­нородности собираемой статистической информации. Байесовский метод может быть легко обобщен на этот случай [89]. Для такого обоб­щения рассмотрим две гипотезы:

• однородности Uс вероятностью P(U);

• неоднородности U с вероятностью Р(й) = 1 — Р (и).

Тогда в соответствии с формулой полной вероятности апостериорная безусловная плотность вероятности запишется в виде:

P(R/X) = P(R/X, U)P(U) + P(R/X, U)P(U).

Если выполняется гипотеза однородности U, то плотность веро­ятности P(R/x, V) есть байесовская апостериорная плотность вероят­ности. Если выполняется гипотеза неоднородностей U, то целесооб­разно вообще отказаться от использования априорной информации и оценку показателя производить только по экспериментальным дан­ным.

Из выражения для безусловной апостериорной плотности легко получить формулы для оценки и ее дисперсии:

R = R6P(U) + R3KC[-P(U)],

где Дкс — оценка максимального правдоподобия; Д — байесовская оценка;

ДЛ] = Д Д ]P2{U)+Д Л, кс ][1 — P(U)]2.

Из приведенного соотношения можно также найти выражение для доверительных границ, например для нижней доверительной гра­ницы:

J P(R/x) dR = P{U)P(R/x, U)dR + [1 — P(U)]f P(R/ x, U)dR 0 0 0 Проиллюстрируем метод учета неоднородности объединяемых данных на конкретном примере оценки вероятности успешного вы— полнения системой поставленной перед ней задачи. В этом случае, используя условие приемки системы RH = R3 и переходя от интегра­лов к суммам, согласно правилу аппроксимации ^-распределения биномиальным распределением получим выражение для доверитель­ной вероятности у, с которой подтверждается гипотеза R > R^:

где £ (" + «О)- Л, У =1 — уо и

г=0 ‘ ‘

1(;)^_га-^)г = 1-Уэкс

г=0′ ‘

— соответственно выражения для доверительных вероятностей, с ко­торыми подтверждается заданное значение показателя только по экс­периментальным данным и по объединенным данным.

При отсутствии отказов в предварительных и последующих испы­таниях (d = d0 = 0) это выражение приобретает вид:

Р(U)J$+n» + [1 — P(U)]R£ = 1 — у

или Л" = (1 — у)/(1 — P(U) + P(U)( 1 — Yo)) = 1 ■- Уэкв,

где Yo —■ доверительная вероятность, с которой подтверждается за­данное значение показателя А, при проведении предварительных испытаний; уэкв — доверительная вероятность, с которой достаточно подтвердить заданное значение показателя R^ при проведении после­дующих испытаний для того, чтобы обеспечить подтверждение Rj с доверительной вероятностью у по объединенным данным предвари­тельных и последующих испытаний.

Поскольку знаменатель приведенного выражения всегда меньше единицы, то значение уЭкв всегДа меньше у. Следовательно, учет априорной информации всегда позволяет сократить число заключи­тельных испытаний. В табл. 14.3 приведены результаты расчетов не­обходимого числа заключительных испытаний, необходимых для под-

тверждения заданного значения показателя при различной степе­ни неоднородности априорных и экспериментальных данных.

При практическом использовании данного метода вероятность Р( U) неизвестна и оценивается как нормированный критический уро­вень значимости, на котором принимается гипотеза однородности объединяемых данных, т. е. P(U) = (а^ — ан)/(ав — ан). Нижним значением уровня значимости ан является рекомендуемый при про­верке статистических гипотез уровень 0,05-0,1. Верхний уровень для двусторонних решающих правил составляет 0,5; для односторонних ав =1.

В заключение следует отметить, что рассмотренный метод при определении вероятности P(U) на основе обработки статистических априорных и экспериментальных данных не исключает полностью проблему смещения объединенных оценок.